Záhada, kolikrát lze přeložit kus papíru, se zdá být jednoduchou dětskou hádankou. Ve skutečnosti však představuje fascinující problém, který propojuje geometrii, exponenciální růst a limity fyzického světa. Zatímco většina lidí instinktivně ví, že to není „nekonečněkrát“, skutečný počet možných složení je překvapivě nízký a řídí se překvapivě přesnými matematickými principy.
I. Teorie skládání: Exponenciální růst a Achillova pata
Problém skládání papíru je postaven na jednoduché fyzikální realitě: tloušťka složeného papíru se zdvojnásobuje s každým přeložením.
A. Exponenciální nárůst tloušťky
Představme si, že začneme s běžným kancelářským papírem o tloušťce přibližně T0=0.1 mm. Počet složení (n) a výsledná tloušťka (Tn) spolu souvisí exponenciálním vztahem:
Tn=T0⋅2n
| Počet složení (n) | Tloušťka papíru (Tn) | Poznámka |
| 1 | 0.2 mm | Zhruba tloušťka kreditní karty. |
| 7 | 12.8 mm | Přes 1 cm, standardní limit pro většinu lidí. |
| 10 | 102.4 mm | Přes 10 cm, velikost menší knihy. |
| 23 | 838,860.8 mm | Téměř 840 metrů, více než výška Burj Khalifa. |
| 42 | 43,980 km | Překročí vzdálenost Země a Měsíce (průměr 384 400 km). |
| 103 | 1031 mm | Daleko za hranicí pozorovatelného vesmíru. |
Jakmile tloušťka dosáhne hodnoty, kterou lidská síla nemůže překonat, skládání končí.
B. Omezení a hranice: Hranice sedmi
Dlouho se vžilo pravidlo, že papír nelze složit více než sedmkrát. Tento nepsaný limit je dán mechanikou skládání a silou, kterou je průměrný člověk schopen vyvinout. Při sedmém složení se tloušťka papíru stává příliš velkou v poměru k jeho délce (nebo šířce), takže pro další složení je zapotřebí enormní energie, aby se překonal odpor materiálu.
II. Matematika vs. Fyzika: Překonání limitu
Limit sedmi složení byl platný po celá desetiletí, dokud nebyl na počátku 21. století vědecky překonán.
A. Britney Gallivan a teoretické formule
V roce 2002 americká studentka Britney Gallivan jako první dokázala přeložit papír dvanáctkrát. Její úspěch nebyl náhodný, ale vycházel z přesné matematické formulace, kterou sama odvodila.
Britney si uvědomila, že problém skládání se liší v závislosti na směru složení:
- Skládání střídavě: Tradiční metoda (jednou na šířku, jednou na délku), kde se postupně zmenšuje délka i šířka. Toto má limit sedmi.
- Skládání vždy jedním směrem (válcování): Skládáme papír vždy podél jedné osy. Tato metoda je pro dosažení vysokého počtu složení efektivnější, protože papír nemusí být čtvercový, ale dlouhý a úzký.
Britney odvodila následující vzorec pro maximální délku papíru (L), potřebnou k n složením v jednom směru:
L=6πt(2n+4)(2n−1)
Kde t je původní tloušťka papíru a n je počet složení.
B. Světový rekord: Dvanáct složení
Britney v praxi dokázala 12. složení pomocí speciálně dlouhého a tenkého kusu toaletního papíru o délce přes 1200 metrů.
- Původní limit (7×): Omezení dáno poměrem tloušťky k délce.
- Nový limit (12×): Dosažen díky použití mimořádně dlouhého materiálu (přes 1,2 km) a soustředěním síly.
V roce 2012 studenti z St. Marks School v Southborough překonali tento rekord složením papíru třináctkrát (pomocí speciálního typu jemného papíru a hydraulického lisu).
III. Praktické implikace a zajímavosti
Proč se touto hádankou zabývat i jinde než na hodinách matematiky? Problém demonstruje sílu exponenciálního růstu a limity, které nám klade fyzika.
A. Demonstrace síly exponentu
Pokud by bylo teoreticky možné papír složit 103krát, dosáhla by jeho tloušťka obrovských rozměrů. Tato myšlenka se často používá k ilustraci, jak rychle dokáže exponenciální růst překonat i ta největší měřítka.
B. Materiálové limity
Zatímco teoreticky stačí papír prodlužovat, v praxi musíme překonat dvě bariéry:
- Potřebná síla: S každým složením roste síla potřebná k ohnutí vrstev papíru.
- Velikost a tvar: Přeložením se zkracuje délka papíru, a aby bylo možné další složení, musí být vždy splněna podmínka, že délka složeného papíru je stále větší než jeho tloušťka.
Limit 7 složení platí pro papír o standardní velikosti (např. A4). Pokud se však pracuje s co největší plochou a co nejtenčím papírem, lze se přiblížit k teoretické hranici 12–13 složení. Tato hranice se považuje za praktický fyzikální limit pro jakýkoli tenký, rovný materiál na Zemi.